כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא חל עליו ) כאשר ע"מ לרשום בכל זאת את החוק השני של ניוטון יש צורך בהוספת כוח מדומה שגודלו. a system וכיוונו הפוך לכיוונה של m a system.1. C a C a B B a A ω A נביט בדיסקה שמסתובבת במהירות זוויתית ω סביב ציר שעובר במרכזה. לכל נקודה בדיסקה יש תאוצה לכיוון מרכז הסיבוב ) שנובעת מכך שהנקודה מבצעת תנועה מעגלית וזו כידוע תנועה מואצת ). התאוצה של נקודה המבצעת תנועה מעגלית ברדיוס R. a=ω נתונה ע"י Rˆ לכאורה, כתיבת שקול הכוחות על גוף שנמצא במערכת מסתובבת, היא בעיה פשוטה, פשוט מוסיפים כוח מדומה ע"פ מה שרשום בסעיפים ו 4. הקושי נעוץ בעובדה שהכח שיש להוסיף כוח המשתנה ממקום למקום במערכת המסתובבת ) גם בגודל וגם בכיוון (.3.4.5 מהאיור קל להבין את מקורו של הכח הצנטריפוגלי על גוף הנמצא במנוחה במערכת המסתובבת. אם הגוף נח הרי ששקול הכוחות במערכת המסתובבת הוא אפס. מאידך ברור לנו שקיים כוח ) אמיתי - שניתן למדוד בכל מערכת ( בכיוון מרכז הסיבוב. תפקידו של הכח הצנטריפוגלי, על גוף שנח במערכת המסתובבת, יהיה להסביר מדוע הגוף לא מאיץ ביחס למערכת המסתובבת. כח קוריוליס קשור בתנועה יחסית שיש לגוף ביחס למערכת המסתובבת ) ראו נספח 5 א' להסבר על הצורך בקיומו של כח קוריוליס ). הסכום של כוח קוריוליס והכח הצטריפוגלי הוא בעצם כוח דלמבר שמקשר בין שקול הכוחות במערכת המאיצה לשקול הכוחות במערכת האינרציאלית..6.7.8 a ot a I הקשר בין תאוצת גוף במערכת האינרציאלית ותאוצתו במערכת מסתובבת נתון ע"י : a = a ω ( ω ) ω v ot I ot ot תאוצת קוריוליס תאוצה צנטריפוגלית F הוא שקול הכוחות eal v ot ot - מהירות הגוף ביחס למערכת המסתובבת. - מיקומו של הגוף ביחס למערכת המסתובבת. F כאשר eal היא התאוצה שמקיימת a = ma I חשוב לציין ש האמיתיים הפועל על הגוף. 1 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
תזכורת: תנועה מעגלית.3 אם נתון גוף שנע תנועה מעגלית במישור במהירות זוויתית ω וברדיוס מתקיים : ) הווקטור שמחבר את מיקום הגוף ומרכז הסיבוב ). 1. מהירות הגוף v מאונכת ל v = ω. על הגוף פועל כוח בכיוון מרכז הסיבוב שגודלו נתון ע"י : v ) כוח זה מכונה כוח צנטריפטלי ותפקידו לשנות את כיוון המהירות בכל רגע ( F = mω = m תזכורת : מכפלה וקטורית B ניצבים, A ו כאשר מכפילים וקטורית ˆB = Cובתנאי ˆA ש A B C הוא בעצם סיבוב של 0. A סביב ב 90 במישור שניצב ל כיוונו של הווקטור C נתון ע"י מכפלת הגדלים של הגודל של הווקטור. B A ו ) מי שלא זוכר מוזמן לחזור לתרגול מספר שאלה מספר ( 3 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
פתרון לתרגיל כיתה מספר 5 פתרון שאלה מספר 1 סעיף א' - המהירות הזוויתית שתיצור תחושת כובד לאסטרונאוט שנח על המעטפת. לפני שנענה על השאלה ננסה להבין מה בעצם יוצר את תחושת הכבד. התחושה הראשונית שלנו היא שכח המשיכה הוא זה שיוצר את תחושת הכבד אולם לא כך הדבר. לדוגמה, גם על האסטרונאוטים הנמצאים בתחנת החלל הבין לאומית פועל כוח המשיכה ) אמנם קטן פי 40 מזה שעל פני כדור הארץ, אבל עדיין קיים ( ולמרות זאת הם לא מרגישים תחושת משקל בכלל ) בגלל שכל אסטרונאוט מהווה לוויין קטן של כדור הארץ ). תחושת הכבד שאנו חשים נובעת מהכח הנורמלי שכדור הארץ מפעיל עלינו ) וכיוון שתחנת החלל לא מפעילה כח על האסטרונאוטים הם לא חשים תחושת כבד כלשהי ). מה שמייצר את תחושת הכובד במקרה של החללית המסתובבת היא העובדה שהחללית מסתובבת, כלומר, כל נקודה על המעטפת ) ובפרט האסטרונאוטים ( היא נקודה מאיצה. ע"מ לקיים את התאוצה הזו דרוש כוח לכיוון ציר הסיבוב אותו מספקת דופן החללית ) וזהו אותו כוח נורמלי שיוצר את תחושת הכובד לאסטרונאוטים ). ננתח את הבעיה בשתי מערכות יחוס : הראשונה - מערכת אינרציאלית השנייה - מערכת החללית ) שהיא מערכת מואצת ( במערכת האינרציאלית נדמיין שאנו רואים רק את האסטרונאוט ) הוא "צבוע" בחומר זרחני ( ולא רואים את החללית. איזו תנועה מבצע האסטרונאוט? כמובן שאנו רואים את האסטרונאוט מבצע תנועה מעגלית. F = mω ע"מ לקיים את התנועה הזו דרוש שקול כוחות לכיוון מרכז הסיבוב : עכשיו נשאל מי יכול להפעיל על האסטרונאוט כוח? כיוון שאין כוכבים קרובים ) אין כוחות משיכה כלשהם ), הגופים היחידים שיכולים להפעיל עליו F = N = mω כוח הם גופים שנוגעים בו כלומר החללית, ולכן: מאידך, אנו רוצים שהכח הנורמלי הזה ייתן תחושת כובד לאסטרונאוט. כיוון שאדם העומד במנוחה על כדור הארץ מרגיש כוח נורמלי mgzˆ N = כלפי מעלה. במערכת החללית, "כלפי F = N m ω = = mg מעלה" הוא בכיוון מרכז הסיבוב, ולכן נרשום : ונקבל: במערכת החללית ω= g/ הקשר בין התאוצות במערכת האינרציאלית והמסתובבת נתון ע"י : aot = ai ω ( ω ot) ω vot במערכת החללית האסטרונאוט במנוחה ולכן תאוצתו יחסית לחללית ot מקיימת: = 0 ot a a F eal F ולכן = a, אולם כבר הסברנו שהכח האמיתי היחיד שיכול a I eal = mai מקיים I m לפעול על האסטרונאוט הוא הכח הנורמלי מדופן החללית ולכן נרשום : F eal N mg = = ˆot = g ˆot = a I m m m הוספנו את וקטור היחידה ˆot כדי לציין שכיוון הכח הנורמלי הוא בניצב לדופן החללית. הביטוי ω vot מתאפס כיוון ש = 0 ot ) v האסטרונאוט נח במערכת החללית ( 3 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
: ω ( ω ) חישוב הביטוי ot (הכח הצנטריפוגלי ( y ot ω= ω ẑ עלינו לבחור מערכת צירים כלשהי לצורך חישוב המכפלה. ω ( ω הוקטורית ) ot. נבחר מערכת צירים צמודה לחללית שבה = Ryˆ ot acen = ω ( ω ot) = ωzˆ ( ωzˆ ( R) yˆ ) = = ωzˆ ( ωrxˆ ) = ω Ryˆ = ω ot o = Ryˆ מסקנה : הכוח הצנטריפוגלי פועל החוצה ממרכז הסיבוב x ot. m ω וגודלו נתון ע"י : ot הערה : את ההצדקה לכך שבחנו מיקום מסוים עבור האסטרונאוט ולא ot ביצענו את החישוב עבור כללי תוכלו למצוא בנספח ב' יחד עם דרכים נוספות לחישוב המכפלה הוקטורית. a = a ω ( ω ) ω v ot I ot ot ot ˆot 0 = g ˆ + ω 0 ω= g/ ot נציב למשוואת התאוצות ונקבל : ושוב מתקבל : נשים לב שבסעיף זה לא פעל כוח קוריוליס בגלל שלא הייתה תנועה יחסית בין האסטרונאוט לבין החללית. 4 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
סעיף ב' - תחושת הכבד לאסטרונאוט שרץ בכיוון סיבוב החללית. a = a ω ( ω ) ω v ot I ot ot חישוב במערכת החללית : נשתמש בקשר: y ot ω = ω ẑ שוב נבחר באופן שרירותי את מיקום האסטרונאוט להיות. כפי שניתן לראות באיור, ע"מ שהאסטרונאוט ot = Ryˆ ירוץ עם כיוון בסיבוב מהירותו צריכה להיות בכיוון. x o = Ryˆ x ot חישוב הכח הצנטריפוגלי : מכיוון שמיקום האסטרונאוט לא השתנה ביחס לסעיף א', ומכיוון שהכח הצנטריפוגלי תלוי רק במקום הרי שהכח הצנטריפוגלי שפועל על האסטרונאוט יהיה כמו זה שחושב בסעיף א'. a = ω = ω Ryˆ cen ot v = v xˆ o חישוב כוח קוריוליס : כיוון שיש לאסטרונאוט מהירות ביחס לחללית המסתובבת, הרי שפועל עליו כח קוריוליס. a = ω v = ωzˆ v xˆ = ωv yˆ co עכשיו צריך לקבוע מהו הביטוי. a ot טעות נפוצה היא לטעון שכיוון ש ) מהירות האסטרונאוט ( קבועה במערכת החללית הרי שהתאוצה a ot היא אפס. הטעות היא שמהירות האסטרונאוט איננה קבועה גם במערכת החללית, האסטרונאוט מבצע תנועה מעגלית ולכן קיימת תאוצה לכיוון המרכז. v. aot שקול הכוחות הדרוש לקיום תנועה מעגלית נתון ע"י : = R v. aot ולכן yˆ = בחרנו לנתח את הכוחות כאשר = Ryˆ ot R N ai = תחושת הכבד נתונה ע"י הכח הנורמלי ) שאותו אנו רוצים לחשב בסעיף זה ( : m aot = ai ω ( ω ot) ω vot נציב לקשר: v N yˆ = + ( ω Ryˆ ) + ( ωvyˆ ) R m v N v = [ + ω R+ ωv] yˆ m R ונקבל :. v R ωv ( ω R נוספו שני איברים : כלומר, קיבלנו שלתחושת הכבד מסעיף א' ) ו 5 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
סעיף ב' ) המשך ( חישוב במערכת אינרציאלית. נדמיין שוב, שאנו רואים רק את האסטרונאוט ולא רואים את החללית. עכשיו האסטרונאוט נראה מסתובב במהירות זוויתית 'ω הגדולה מהמהירות הזוויתית ω של החללית ) בגלל שהוא רץ ביחס לחללית ). במערכת האינרציאלית האסטרונאוט מסתובב במהירות זוויתית 'ω המקיימת : ω' = ω+ % ω v ω= % כאשר %ω היא המהירות הזוויתית של האסטרונאוט ביחס לחללית. כלומר: R הכוח הדרוש לקיים את התנועה המעגלית הזו נתון ע"י : v ˆ F = N = m( ω') R ot = m( ω+ ) R ˆ ot R N v = ω R+ vω+ ˆ ot m R וקיבלנו את אותה התשובה כמו שקיבלנו בחישוב במערכת המסתובבת. y ot ω= ω ẑ סעיף ג' - תחושת הכבד לאסטרונאוט שרץ בכיוון ציר הסיבוב. v = vzˆ עכשיו האסטרונאוט רץ במקביל לציר הסיבוב ולכן : שוב נשתמש בקשר: aot = ai ω ( ω ot) ω vot ונבחר לחשב את הכוחות באותו המקום כמו בסעיפים הקודמים ) ראה איור ). o = Ryˆ x ot הכוח הצנטריפוגלי נשאר כמו בסעיפים הקודמים. a = ω = ω Ryˆ cen ot כח קוריוליס מתאפס בגלל ש: ω v = ωzˆ v zˆ = 0 התאוצה במערכת המסתובבת a ot היא אפס בגלל שביחס למערכת המסתובבת האסטרונאוט רץ במהירות קבועה ובקו ישר. ot ot F cen N g m = ˆ לסיכום כח קוריוליס והתאוצה a ot מתאפסים והכוח הצנטריפוגלי נתון ע"י: = m ω Ry בדיוק כמו בסעיף א'. המסקנה היא שתחושת הכובד תהיה בדיוק כמו בסעיף א' כלומר : 6 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
= xxˆ + yyˆ + zzˆ ot סעיף ד' - משוואות התנועה של הכדור במערכת החללית. נסמן את מיקום הכדור במערכת החללית: כיוון שהכדור אינו חש כבידה ואנו בא במגע עם אף גוף אחר במהלך תנועתו, שקול הכוחות האמיתי על הכדור מתאפס. aot = ai ω ( ω ot) ω vot נרשום : = 0 ωzˆ ( ωzˆ ) ωzˆ & ot xˆ yˆ zˆ xˆ yˆ zˆ = ωzˆ ω0 0 1 ω 0 0 1 x y z [ ˆ ˆ] ω[ & ˆ & ˆ] = ωzˆ ω yx+ xy yx+ xy = ω xyˆ + ω yxˆ + ωyx & ˆ ωxy & ˆ ot x& y& z& a = && = && xxˆ + && yyˆ + && zzˆ ot ot נזכור ש ונקבל : a = && = && xxˆ + && yyˆ + && zzˆ = ωxyˆ + ωyxˆ + ωxˆ ωxy & ˆ ot ot && x ω y ωy& = && y x + x& = ω && z = 0 0 ω 0 או ברכיבים : כפי שניתן לראות המשוואה על קורדינטת z קלה לפתרון אולם המשוואות בכיוונים x ו y אינן קלות כלל. אלו שתי משוואות דיפרנציאליות מסדר שני מצומדות ) ואין לנו מושג בשלב הזה של החיים איך לפתור אותם ). סעיף ה' - משוואות התנועה של הכדור במערכת אינרציאלית. && x = 0 && y = 0 && z = 0 כפי שנכתב קודם, שקול הכוחות האמיתי על הכדור הוא אפס ולכן, במערכת אינרציאלית : = 0 a או ברכיבים : inetial סעיף ו' - מיקום הכדור ) במערכת החללית ( כפונקציה של הזמן. לכאורה, אנו צריכים לפתור את משוואות התנועה במערכת החללית ) כיוון שרוצים לדעת מהו ( ot אולם ראינו בסעיף ד' שאלו משוואות קשות לפתרון. כיוון שקל מאד לפתור את משוואות התנועה במערכת אינרציאלית, נפתור אותם במערכת האינרציאלית ואת הפתרון נעביר למערכת המסתובבת. 7 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
&& x = 0 xt () = x(0) + vt x && y = 0 yt () = y(0) + vyt z 0 && = zt () = z(0) + vt z פתרון משוואות התנועה במערכת אינרציאלית : עכשיו נשאר לקבוע את המהירות ההתחלתית של הכדור במערכת האינרציאלית : נבחר את מערכת הצירים כך שב 0=t מערכות הצירים של החללית והמערכת האינרציאלית מתלכדות. בכיוון y המהירות ההתחלתית של הכדור היא המהירות שבו הוא נזרק ביחס לחללית, v = v y x 0 v =ωr גם בכיוון x יש לכדור מהירות שנובעת מהסיבוב של החללית: ולכן : xt () = x(0) + vt x xt () = 0+ ωrt yt () = y(0) + vyt yt () = R+ vt 0 () t = ωrtxˆ + ( R+ vt 0) yˆ zt () = z(0) + vt zt () = 0 z למערכת המסתובבת : עכשיו צריך להעביר את () t y lab y lab y lab y ot x ot x lab y ot x ot ωt 1 x lab y ot ωt x ot xlab מערכות הצירים של החללית והמעבדה בזמנים שונים. את הטרנספורמציה בין שתי מערכות שאחת מסתובבת ביחס לשנייה ראינו כבר בתרגיל כיתה מספר : 4 xˆ lab = cosθ xˆ ot sinθ yˆ ot yˆ lab = sinθ xˆ ot + cosθ yˆ ot () t = ωrtxˆ + ( R+ vt) yˆ = lab lab 0 lab ωrt[ cosθ xˆ ot sin θ yˆ ot] [( R vt 0)(sinθ xˆ ot cos θ yˆ ot) ] [ ω cos θ ( )sinθ] ˆ [ sin θ ω ( )cosθ] = + + + = Rt + R+ vt x + Rt+ R+ vt yˆ 0 ot 0 ot = Rt + R+ vt x + Rt+ R+ vt yˆ [ ω cos θ ( )sinθ] ˆ [ sin θ ω ( )cosθ] θ = ωt ונקבל : ot 0 ot 0 ot נציב זהו מיקום הכדור כפונקציה של הזמן במערכת החללית. הערה : ניתן לבדוק ) ע"י הצבה ש ot שמצאנו בסעיף ד'. פותר את משוואות התנועה של הכדור במערכת החללית 8 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
נספח 5 א' - הדגמה של הצורך בכח קוריוליס במקרה פשוט aco = ω אלא להדגים המטרה של הסבר זה אינה להוכיח את הביטוי לתאוצת קוריוליס v במקרה פשוט מהיכן נובע הצורך בו ) כלומר איזו תופעה שמתרחשת במערכת המסתובבת, מסביר כח קוריוליס ). ננתח את המקרה של גוף הנע במהירות קבועה ביחס למערכת המסתובבת, בכיוון מרכז הסיבוב. v() t = v ˆ במקרה הזה וקטור המהירות של הגוף במערכת המסתובבת נתון ע"י : כאשר עוברים למערכת אינרציאלית ) שנקרא לה מעכשיו המערכת החיצונית ( אנו מקבלים שלגוף מתווסף רכיב של מהירות משיקית בגודל ω שנובעת מסיבוב המערכת. v ˆ I() t = v ˆ+ωθ המהירות הכוללת של הגוף במערכת החיצונית נתונה ע"י : כאשר בגלל סיבוב המערכת. θ = ωt הערה : שימו לב שאם בוחרים את מיקום הגוף ב t=0 v () t = vˆ +ωˆ θ I ו האופן בו נמצא את כוח קוריוליס בראשית הצירים הרי שאת מסלול המתואר ע"י הביטוי θ = ωt כבר פגשנו בשאלה מספר של תרגול מספר - זוהי ספיראלה. מידיעת המהירות כפונקציה של הזמן במערכת האינרציאלית נוכל לחשב את התאוצות האמיתיות (פשוט ע"י גזירת וקטור המהירות במערת האינרציאלית ). כיוון שביחס למערכת המסתובבת הגוף אינו מאיץ שקול הכוחות במערכת המסתובבת הוא אפס. נוכל לחשב את הכוחות המדומים ) D ( f שיש להוסיף לתרשים הכוחות ע"מ לקיים F במערכת המסתובבת. otating = 0 system F = F + f = 0 מתמטית זה ירשם כך: otating system inetial D system מתוך f D נזהה את הכוח שתלוי במיקום הגוף ונקרא לו "הכוח הצנטריפוגלי", ואת הכוח שתלוי במהירות הגוף אותו נכנה "כוח קוריוליס"..1..3.4 שלב - 1 חישוב התאוצות האמיתיות dvi ai( t= 0) = נחשב את התאוצה ברגע 0=t מתוך הביטוי dt נניח שב 0=t הגוף לא נמצא בהכרח בראשית הצירים, ונבחר את מערכת הצירים כך שב 0=t הגוף נמצא על ציר x ואז. θ = ωt ˆ ˆ () vע"מ לקבל את התאוצה. נגזור את הביטוי I t = v +ωθ נשים לב שבעוד ש v ו ω הם גדלים קבועים הרי ש ˆθ, ו ˆ משתנים עם הזמן, לפיכך פעולת dvi a () ˆ ˆ ˆ I t = = v& & + ω& θ + ωθ הגזירה נותנת : dt ˆ & = & ˆ θθ נציב את הביטויים לנגזרות של וקטורי היחידה ˆθ ו ˆ ) ראו תרגול ( : & ˆ θ = & θˆ ונקבל : dvi a () ˆ ˆ I t = = v & θθ + ω& θ+ ω( & θˆ) dt 9 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
נזכור ש נציב את. & = v מייצג את מרחק הגוף מראשית הצירים ולכן כמו כן, & θ = ω ולכן θ = ωt & θ ואת & לביטוי ל a () t ונקבל : dvi a { ˆ ˆ I() t = = vωθ + { ω& θ+ ω( ωˆ) dt 1443 [ 1] [ ] [ 3] ˆ ˆ ai() t = vωθ + ωvθ ω ˆ ˆ a () t = vωθ ω ˆ I I שלבים 3, ו - 4 זיהוי הכוחות המדומים נזכור שאנו עוסקים במערכת מואצת ובגוף שנע במהירות קבועה במערכת זו ולכן אם פועלים כוחות אמיתיים חייבים להיות כוחות מדומים שמקזזים אותם. בכיוון ˆ, פועל כוח אמיתי שגודלו ω 0. מכיוון שהכח הזה תלוי במקום ) ולא תלוי במהירות ( נזהה אותו בתור הכוח האמיתי שמקוזז ע"י הכוח הצנטריפוגלי.. vω מכיוון שהכח הזה תלוי רק במהירות הגוף ) ולא תלוי בכיוון ˆθ, פועל כוח אמיתי שגודלו במקום ( נזהה אותו בתור הכח האמיתי שמקוזז ע"י כוח קוריוליס. עכשיו לאחר שזיהינו את כוח קוריוליס ננסה להבין מה תפקידו זיהינו את כוח קוריוליס ככוח המדומה ש"מקזז" את הכח האמיתי שפועל בכיוון ˆθ, ולכן נחזור שוב לפיתוח ונבין מה היה תפקידו של הכוח האמיתי. t= לצורך כך נביט שוב בשתי הנקודות( t=0 ו dt במערכת האינרציאלית: ( על מסלולו של הגוף כפי שהוא נראה ( dt) ( t= 0) v ( dt) v ( t= 0) המהירות הרדיאלית - ביטוי מספר [1] ב 0=t הגוף נמצא על ציר x ולכן מהירותו הרדיאלית מצביעה בכיוון xˆ. לאחר זמן dt מהירותו הרדיאלית של הגוף מצביעה שינה את כיוונו (. בכיוון אחר ) כי וקטור המקום אם מנסים לצייר את הווקטור v כפונקציה של הזמן ) במערכת אינרציאלית ( מבינים שהווקטור הזה מבצע תנועה מעגלית (כלומר הוא משנה את כיוונו בקצב קבוע). לצורך קיום "התנועה המעגלית" הזו דרוש כוח שניצב למהירות הרדיאלית. הכח הדרוש ע"מ לסובב וקטור מהירות שגודלו, v בקצב v F = ( mω = m ) = mvω נתון ע"י: ω ולכן לא מפתיע שקיבלנו את התאוצה האמיתית שגודלה v היא נדרשת ע"מ לסובב את הווקטור -vω וכך קיבלנו פעם אחת.ω v 10 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
v ( dt) θ ( dt) ( t= 0) v ( t 0) θ = המהירות המשיקית - ביטוי מספר [] ב 0=t הגוף נמצא על ציר x ולכן מהירותו המשיקית מצביעה בכיוון. ŷ לאחר זמן dt קורות שתי תופעות : 1. מהירותו המשיקית של הגוף v θ מצביעה בכיוון שינה את כיוונו ). אחר ) כי וקטור המקום. גודלה של המהירות המשיקית משתנה ) זה נובע מהעובדה שרדיוס הסיבוב הרגעי גדל מרגע לרגע בגלל התרחקותו של הגוף ממרכז הסיבוב ( כפי שרואים במשוואות שפיתחנו שינוי הכיוון של v θ אינו נובע מכוח שתלוי במהירות ) אלא רק במיקום ( הגוף ולכן אינו קשור לכוח קוריוליס ) וכן קשור לכח הצנטריפוגלי - ביטוי מספר [3] ( לעומת זאת, העובדה שגודלה של המהירות המשיקית משתנה דורשת קיום כוח בכיוון המהירות. את הכח מחשבים ע"י : dvθ d d = ( ω ()) t = ω () t = ω v dt dt dt ) והרי לנו ω v פעם שנייה ( לסיכום במקרה בו טיפלנו, כח קוריוליס ) יחד עם הצנטריפוגלי ( דואג לאפס את שקול הכוחות במערכת F כיאה לגוף שנע בתנועה קצובה ). המסתובבת ) ע"מ שיחד עם הכוחות המדומים נקבל 0= ראינו שלכוח האמיתי הקשור לכוח קוריוליס במקרה הזה שני תפקידים : 1. הגדלת המהירות המשיקית.. שינוי כיוונה של המהירות הרדיאלית ) ומכיוון ש v קבוע הכח הזה ניצב למהירות הרדיאלית ). שאלת אתגר ˆ v ) ולא () נסו לחזור על הפיתוח הנ"ל עבור גוף שמהירותו במערכת המסתובבת היא t = v θ θ v() כמו בפיתוח (. חיזרו על השלבים כמו שעשינו בדוגמה, והשוו לביטוי שאמור t = v ˆ ( ˆ ω v להתקבל ע"פ תאוצת קוריוליס ) הערה : קיים "מוקש" קטן בפיתוח כך שאם לא הצלחתם לקבל בפיתוח שעשיתם את התאוצה ˆ ( אתם מוזמנים להשוות לפתרון שמצוי באתר : ω v הנדרשת ) http://tx.technion.ac.il/~niyt/ ואולי קיים גם באתר הקורס. 11 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt
נספח 5 ב' - ot ω ω ( לנקודה מסוימת ולא עבור ) מדוע ניתן לבצע את החישוב ot כל שהוא? באופן עקרוני אנו צריכים לתת ביטוי לכוח הצנטריפוגלי הפועל על הגוף בכל, ot אבל אנחנו בחרנו מיקום מסוים ועבורו ביצענו את החישוב. ההצדקה לכך היא שבבעיה קיימת סימטריה גלילית. משמעותה של הסימטריה הגלילית היא שגם אם נסובב את החללית סביב צירה ) באיזו זווית שנבחר ( התמונה שנקבל תהיה זהה לתמונה המקורית של החללית ) זה נכון רק בגלל שהיקפה של החללית הוא מעגלי - אם לחללית היה היקף בצורה אחרת הטיעון הזה לא היה עובד) המסקנה היא שלא משנה היכן על הדופן עומד האסטרונאוט הכח שיפעל עליו לא יהיה תלוי במיקום שלו על הדופן ולכן ניתן לבחור נקודה שרירותית ועליה לבצע את החישוב. להדגמת החישוב עבור ot כל שהוא ראו סעיף ד' ω ( ω ) דרך נוספת לחישוב המכפלה הוקטורית ot נבחר את מערכת הצירים כך ש ot הוא במישור. xy =ω הרי שהביטוי ω מחזיר ווקטור שגודלו הוא מכפלת ωẑ ו xy הוא במישור ot כיוון ש ot 0. xy ב 90 במישור וכיוונו מתקבל ע"י סיבוב הווקטור ( ω ו ot הגדלים ) של ot =ω אנו צריכים לסובב את התוצאה שוב מכיוון שאת התוצאה אנו כופלים שוב וקטורית ב ωẑ 0 ω ( ω ) = ω ˆ ב 90 במישור. xy לבסוף אנו נשארים עם : ot ot ot הערה : גם אם מערכת הצירים של החללית נבחרת כך של ot יש רכיב בכיוון ẑ הרי שבחישוב המכפלה הוקטורית הראשונה הרכיב הזה יאבד ונשאר רק עם הרכיב של ot במישור. xy 1 niyt@tx.technion.ac.il הערות/ תיקונים נא לשלוח לניר יום-טוב תרגיל כיתה מספר 5 פיסיקה 1 מ' http://tx.technion.ac.il/~niyt